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<!DOCTYPE html>

<title>Referenzellipsoid</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Referenzellipsoid</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Ein Referenzellipsoid ist ein <a href="Ellipsoid" title="Ellipsoid">Ellipsoid</a>, das als <a href="Bezugssystem" title="Bezugssystem">Bezugssystem</a> zur Berechnung von <a href="Vermessungsnetz" class="mw-redirect" title="Vermessungsnetz">Vermessungsnetzen</a> oder der direkten Angabe geografischer Koordinaten dient. Die Rotationsachse (kleinere Achse) des Ellipsoids zeigt in Richtung der <a href="Erdachse" title="Erdachse">Erdachse</a>, um die <a href="Abplattung" title="Abplattung">Abplattung</a> der Erde an den Polen zu modellieren. Das Ellipsoid soll als mathematische <a href="Erdfigur" title="Erdfigur">Erdfigur</a> die Fläche konstanter Höhe (siehe <a href="Geoid" title="Geoid">Geoid</a>) annähern, wobei die historische Entwicklung von regionaler <a href="Gradmessung" title="Gradmessung">Gradmessung</a> zu globaler Ausgleichung des <a href="Erdschwerefeld" class="mw-redirect" title="Erdschwerefeld">Schwerefeldes</a> ging.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Als wissenschaftlich anerkanntes <a href="Erdmodell" title="Erdmodell">Erdmodell</a> galt bereits seit der griechischen Naturphilosophie die <a href="Erdfigur" title="Erdfigur">Erdkugel</a>. Erste Zweifel an der genauen Kugelgestalt tauchten im 17. Jahrhundert auf; um 1680 konnte <a href="Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> in einem Disput mit <a href="Giovanni_Domenico_Cassini" title="Giovanni Domenico Cassini">Giovanni Domenico Cassini</a> und der <a href="Pariser_Akademie" class="mw-redirect" title="Pariser Akademie">Pariser Akademie</a> theoretisch beweisen, dass die <a href="Erdrotation" title="Erdrotation">Erdrotation</a> eine <a href="Erdabplattung" title="Erdabplattung">Abplattung</a> an den Polen und nicht am Äquator verursachen müsse (siehe <a href="Verl%C3%A4ngertes_Ellipsoid" title="Verlängertes Ellipsoid">verlängertes Ellipsoid</a>). Die <a href="Landesvermessung" title="Landesvermessung">Landesvermessung</a> Frankreichs durch <a href="Philippe_de_La_Hire" title="Philippe de La Hire">Philippe de La Hire</a> und <a href="Jacques_Cassini" title="Jacques Cassini">Jacques Cassini</a> (1683–1718) ließ zunächst noch das Gegenteil vermuten. Der empirische Nachweis gelang erst Mitte des 18. Jahrhunderts durch <a href="Pierre_Bouguer" title="Pierre Bouguer">Pierre Bouguer</a> und <a href="Alexis-Claude_Clairaut" title="Alexis-Claude Clairaut">Alexis-Claude Clairaut</a>, als die Messungen der Expeditionen nach <a href="Vizek%C3%B6nigreich_Peru" title="Vizekönigreich Peru">Peru</a> (heutiges <a href="Ecuador" title="Ecuador">Ecuador</a>) und Lappland (1735–1741) zweifelsfrei ausgewertet waren. Diese erste präzise <a href="Gradmessung" title="Gradmessung">Gradmessung</a> führte auch zur Definition des <a href="Meter" title="Meter">Meters</a> als 10-millionster Teil des <a href="Erdquadrant" title="Erdquadrant">Erdquadranten</a>, das allerdings infolge unvermeidlicher kleiner <a href="Messfehler" class="mw-redirect" title="Messfehler">Messfehler</a> um 0,022 % „zu kurz“ wurde.

Im 19. Jahrhundert begannen sich zahlreiche Mathematiker und Geodäten mit der Bestimmung der Ellipsoiddimensionen zu befassen. Die ermittelten Werte des <a href="Erdradius" title="Erdradius">Äquatorradius</a> variierten noch zwischen 6376,9 km (<a href="Jean-Baptiste_Joseph_Delambre" title="Jean-Baptiste Joseph Delambre">Jean-Baptiste Joseph Delambre</a> 1810) und 6378,3 km (<a href="Clarke-Ellipsoid" title="Clarke-Ellipsoid">Clarke 1880</a>), während das weithin akzeptierte <a href="Bessel-Ellipsoid" title="Bessel-Ellipsoid">Bessel-Ellipsoid</a> 6377,397 km ergab (der moderne <a href="Bezugswert" title="Bezugswert">Bezugswert</a> beträgt 6378,137 km). Dass die Differenzen die damalige Messgenauigkeit um das Fünffache übertrafen, liegt an der Lage der einzelnen <a href="Vermessungsnetz" class="mw-redirect" title="Vermessungsnetz">Vermessungsnetze</a> auf verschieden gekrümmten Regionen der Erdoberfläche (siehe <a href="Lotabweichung" title="Lotabweichung">Lotabweichung</a>).

Die Werte der <a href="Erdabplattung" title="Erdabplattung">Erdabplattung</a> variierten hingegen weniger – zwischen 1:294 und 1:308, was ±0,5 km in der Polachse bedeutet. Hier lag <a href="Friedrich_Wilhelm_Bessel" title="Friedrich Wilhelm Bessel">Bessels</a> Wert (1:299,15) bei weitem am besten. Durch immer größere Vermessungsnetze „pendelte“ sich das Ergebnis im 20. Jahrhundert auf etwa 1:298,3 ein (<a href="Friedrich_Robert_Helmert" title="Friedrich Robert Helmert">Friedrich Robert Helmert</a> 1906, <a href="Feodossi_Krassowski" class="mw-redirect" title="Feodossi Krassowski">Feodossi Krassowski</a> 1940), was 21,4 km Differenz zwischen Äquator- und Polachse entspricht, während das <a href="Hayford-Ellipsoid" title="Hayford-Ellipsoid">Hayford-Ellipsoid</a> mit 1:297,0 durch die Art der geophysikalischen Reduktion deutlich aus der Reihe fiel. Durch den großen US-Einfluss nach dem Zweiten Weltkrieg wurde es dennoch als Basis des <a href="Europ%C3%A4isches_Datum_1950" title="Europäisches Datum 1950">ED50</a>-Referenzsystems gewählt, während der „<a href="Ostblock" title="Ostblock">Ostblock</a>“ die Krassowski-Werte zur Norm nahm. Letztere wurden in den 1970ern durch das Satelliten-<a href="Weltnetz_der_Satellitengeod%C3%A4sie" class="mw-redirect" title="Weltnetz der Satellitengeodäsie">Weltnetz</a> und globale Multi<a href="Lateration" title="Lateration">lateration</a> (Laufzeitmessungen an Signalen von <a href="Quasar" title="Quasar">Quasaren</a> und geodätischen Satelliten) als die besseren bestätigt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referenzellipsoide_in_der_Praxis">Referenzellipsoide in der Praxis</h2></div>

Referenzellipsoide werden von <a href="Geod%C3%A4t" title="Geodät">Geodäten</a> für Berechnungen auf der Erdoberfläche benutzt und sind auch für andere <a href="Geowissenschaften" title="Geowissenschaften">Geowissenschaften</a> das häufigste <a href="Bezugssystem" title="Bezugssystem">Bezugssystem</a>. Jede regionale Verwaltung und <a href="Landesvermessung" title="Landesvermessung">Landesvermessung</a> eines Staates benötigt ein solches Referenzellipsoid, um

<ul><li>ein staatliches Vermessungsnetz zu schaffen (<a href="Netzausbreitung" title="Netzausbreitung">Netzausbreitung</a>),</li>

<li>genaue <a href="Karte_(Kartografie)" title="Karte (Kartografie)">Karten</a> herzustellen und die Staatsgrenzen eindeutig festzulegen,</li>

<li>die Lage und Form aller <a href="Grundst%C3%BCck" title="Grundstück">Grundstücke</a> und <a href="Geb%C3%A4ude" title="Gebäude">Gebäude</a> berechnen zu können</li>

<li>und mit einigen tausend sogenannter <a href="Festpunkt" title="Festpunkt">Festpunkte</a> des Vermessungsnetzes (<a href="Triangulation_(Geod%C3%A4sie)" title="Triangulation (Geodäsie)">Triangulation</a> etc.) die <a href="Grenzpunkt" title="Grenzpunkt">Grenzpunkte</a> und sonstige Rechte (<a href="Grundbuch" title="Grundbuch">Grundbuch</a> etc.) zu garantieren.</li>

<li>Seit etwa 1985 wird dieses „<a href="Kataster" title="Kataster">Kataster</a>“ auch durch digitale Informationssysteme (<a href="Geoinformationssystem" title="Geoinformationssystem">Geoinformationssystem</a>, <a href="Landinformationssystem" title="Landinformationssystem">Landinformationssystem</a>, <a href="Umweltinformationssystem" title="Umweltinformationssystem">Umweltinformationssystem</a> usw.) ergänzt, die sich ebenfalls auf das Bezugsellipsoid des Landes stützen.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referenzellipsoide_in_der_Theorie">Referenzellipsoide in der Theorie</h2></div>

Da die physikalische Erdfigur, das <a href="Geoid" title="Geoid">Geoid</a>, durch die Unregelmäßigkeiten von Erdoberfläche und <a href="Erdschwerefeld" class="mw-redirect" title="Erdschwerefeld">Schwerefeld</a> leichte Wellen aufweist, sind Berechnungen auf einer geometrisch definierten Erdfigur viel einfacher. Die zu vermessenden Objekte werden senkrecht auf das Ellipsoid projiziert und können dann kleinräumig sogar <a href="Verebnung" title="Verebnung">wie in einer Ebene</a> betrachtet werden. Dafür wird z. B. ein <a href="Gau%C3%9F-Kr%C3%BCger-Koordinatensystem" title="Gauß-Krüger-Koordinatensystem">Gauß-Krüger-Koordinatensystem</a> verwendet.

Mit der Höhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> wird der Abstand zum Ellipsoiden angegeben, senkrecht zu dessen Oberfläche. Diese Senkrechte unterscheidet sich allerdings um die sog. <a href="Lotabweichung" title="Lotabweichung">Lotabweichung</a> von der wirklichen Lotrichtung, wie sie ein <a href="Schnurlot" class="mw-redirect" title="Schnurlot">Schnurlot</a> darstellen würde. Bei Vermessungen, die genauer sein sollen als einige Dezimeter pro Kilometer, muss dieser Effekt berechnet und die Messungen um ihn reduziert werden. Die Lotabweichung kann in <a href="Mitteleuropa" title="Mitteleuropa">Mitteleuropa</a> je nach Gelände und Geologie 10–50″ betragen und bewirkt einen Unterschied zwischen <a href="Astronomische_Breite" title="Astronomische Breite">astronomischer</a> und ellipsoidischer <a href="Geografische_L%C3%A4nge" class="mw-redirect" title="Geografische Länge">Länge</a> und <a href="Geografische_Breite" class="mw-redirect" title="Geografische Breite">Breite</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy">).

Siehe auch: <a href="Geod%C3%A4tische_Hauptaufgabe" title="Geodätische Hauptaufgabe">Geodätische Hauptaufgabe</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Umrechnung_in_geozentrische_kartesische_Koordinaten">Umrechnung in geozentrische kartesische Koordinaten</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">Kartesisches Koordinatensystem</a></div>

In einem geozentrischen rechtwinkligen Bezugssystem, dessen Ursprung im Mittelpunkt des Rotationsellipsoids liegt und in Richtung der Rotationsachse (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy">) sowie des Nullmeridians (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">) ausgerichtet ist, gilt dann

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}X&=(N_{\varphi }+h)\cos \varphi \cdot \cos \lambda \\Y&=(N_{\varphi }+h)\cos \varphi \cdot \sin \lambda \\Z&=(N_{\varphi }(1-\varepsilon ^{2})+h)\sin \varphi \end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ccc2e6fa551c07ddd7fee80005118412ba90064.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.063ex; margin-bottom: -0.274ex; width:28.092ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}X&=(N_{\varphi }+h)\cos \varphi \cdot \cos \lambda \\Y&=(N_{\varphi }+h)\cos \varphi \cdot \sin \lambda \\Z&=(N_{\varphi }(1-\varepsilon ^{2})+h)\sin \varphi \end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> – große Halbachse (Parameter des Referenzellipsoids)</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> – kleine Halbachse (Parameter des Referenzellipsoids)</li>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da1902aeb637c7f9824d12891a0bd98839932ebd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.518ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}" loading="lazy"> – <a href="Exzentrizit%C3%A4t_(Astronomie)" title="Exzentrizität (Astronomie)">numerische Exzentrizität</a></li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{\varphi }={\frac {a}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\sin ^{2}\varphi }}}\,\!}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c76d4e6e1b48c7a1e0b66ab10702601baffe8bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; margin-right: -0.387ex; width:22.164ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle N_{\varphi }={\frac {a}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\sin ^{2}\varphi }}}\,\!}" loading="lazy"> – Krümmungsradius des <a href="Erster_Vertikal" title="Erster Vertikal">Ersten Vertikals</a>, d. h. der Abstand des Lotfußpunktes vom Schnittpunkt des verlängerten Lots mit der Z-Achse.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Berechnung_von_φ,_λ_und_h_aus_kartesischen_Koordinaten">Berechnung von φ, λ und h aus kartesischen Koordinaten</h3></div>

Die <a href="Ellipsoidische_L%C3%A4nge" class="mw-redirect" title="Ellipsoidische Länge">ellipsoidische Länge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> kann exakt bestimmt werden als

<mi>arctan</mi>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda =\arctan \left[{\frac {Y}{X}}\right]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56eb4db71b40d12906ff694abe4a43a08ed0a8f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:16.191ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda =\arctan \left[{\frac {Y}{X}}\right]}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei gegebenem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> ergibt sich die Höhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> als

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\frac {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}{\cos \varphi }}-N_{\varphi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f8afb1e664bd5e7513c6edd378ae72928438530.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.457ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle h={\frac {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}{\cos \varphi }}-N_{\varphi }}" loading="lazy"></dd></dl>

Obwohl diese Beziehung exakt ist, bietet sich die Formel

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\approx {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\cdot \cos \varphi +Z\sin \varphi -a^{2}/N_{\varphi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a65c8f4a5974f406de4267e5bf842f2d975d9e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:41.436ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle h\approx {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\cdot \cos \varphi +Z\sin \varphi -a^{2}/N_{\varphi }}" loading="lazy"></dd></dl>

eher für praktische Berechnungen an, da der Fehler

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta h\approx {\frac {1}{2}}(h+{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}})(\Delta \varphi )^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d65a8634d60b78bf876bb5070dec27c28537e0b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.85ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta h\approx {\frac {1}{2}}(h+{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}})(\Delta \varphi )^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

nur quadratisch vom Fehler in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> abhängt.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Das Ergebnis ist somit um einige Größenordnungen genauer.

Für die Berechnung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> muss auf Näherungsverfahren zurückgegriffen werden. Aufgrund der Rotationssymmetrie wird das Problem in die <a href="Xz-Ebene" class="mw-redirect" title="Xz-Ebene">X-Z-Ebene</a> verlegt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00c4bba30544017fe76932de5a4e25adb5512d95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.616ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda =0}" loading="lazy">). Für den allgemeinen Fall wird dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}">

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/645103b5ce4962f8d5598b52e56c81c0cc106185.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.17ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}" loading="lazy"> ersetzt.

Das Lot des gesuchten Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X,Z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X,Z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ed60175d2376d9808543aa140ec0b61008308f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.504ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X,Z)}" loading="lazy"> auf die Ellipse hat den Anstieg <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b9aef9ad9be54e109fdca66d469f6457fa76dde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.267ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \tan \varphi }" loading="lazy">. Das verlängerte Lot geht durch den Mittelpunkt M des <a href="Kr%C3%BCmmungskreis" title="Krümmungskreis">Krümmungskreises</a>, der die Ellipse im Lotfußpunkt berührt. Die Koordinaten des Mittelpunktes lauten

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}X_{M}\\Z_{M}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon ^{2}a\cos ^{3}t\\-{\tilde {\varepsilon }}^{2}b\sin ^{3}t\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f475421bebeaf6ef4c0dda7c1e629a598b337d1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:26.067ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}X_{M}\\Z_{M}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon ^{2}a\cos ^{3}t\\-{\tilde {\varepsilon }}^{2}b\sin ^{3}t\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> – <a href="Ellipse#Ellipsengleichung_(Parameterform)" title="Ellipse">parametrische Breite</a>, d. h., Punkte auf der Ellipse sind durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{smallmatrix}}\right)}">

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{smallmatrix}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c510b68054849f04813aa63f896ca27394672b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.928ex; margin-bottom: -0.244ex; width:7.319ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{smallmatrix}}\right)}" loading="lazy"> beschrieben</li>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cdf181618575ecaf33785aea8bae306a3fd65af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.791ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}}" loading="lazy"></li></ul>

Damit gilt

<mfrac>

<mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {Z+{\tilde {\varepsilon }}^{2}b\sin ^{3}t}{X-\varepsilon ^{2}a\cos ^{3}t}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/891dc86e23e5da0d68abf0f3e51f896e88078a4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.169ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {Z+{\tilde {\varepsilon }}^{2}b\sin ^{3}t}{X-\varepsilon ^{2}a\cos ^{3}t}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dies ist eine <a href="Iteration" title="Iteration">Iterationslösung</a>, da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a}{b}}\tan t}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a}{b}}\tan t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3681cdc89c7946d540ab8a25f1ef37a9ae16bef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:15.405ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a}{b}}\tan t}" loading="lazy"> in Beziehung stehen. Ein naheliegender Anfangswert wäre

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan t_{0}={\frac {a}{b}}{\frac {Z}{X}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e16c6ebaac73013e674d25aab580fde725738c6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.621ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \tan t_{0}={\frac {a}{b}}{\frac {Z}{X}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Mit dieser Wahl erreicht man nach einem Iterationsschritt eine Genauigkeit von

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \varphi \approx {\frac {3}{2}}\varepsilon ^{3}{\frac {ah^{2}}{(a+h)^{3}}}\sin ^{3}\varphi \cos ^{3}\varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8c250edd728be04a7089fe881f24e4e03eb21c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:32.464ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta \varphi \approx {\frac {3}{2}}\varepsilon ^{3}{\frac {ah^{2}}{(a+h)^{3}}}\sin ^{3}\varphi \cos ^{3}\varphi }" loading="lazy">.<a href="#cite_note-2">[2]</a></dd></dl>

Das heißt, auf der Erdoberfläche ergibt sich für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> ein maximaler Fehler von 0,00000003″ und das globale Maximum des Fehlers (bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h=2a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=2a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd1ac38aa073b3e8bcaa4d077a41d19543615fe1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.83ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h=2a}" loading="lazy">) beträgt 0,0018″.

Bei günstiger Wahl von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02d3006c4190b1939b04d9b9bb21006fb4e6fa4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0}}" loading="lazy"> kann auch der maximale Fehler für Punkte im Weltraum noch weiter reduziert werden. Mit

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan t_{0}={\frac {b}{a}}{\frac {Z}{X}}\left(1+{\tilde {\varepsilon }}{\frac {b}{\sqrt {X^{2}+Z^{2}}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8604a93f957fe42b3cedc8d847b3110feea51b8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:34.862ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \tan t_{0}={\frac {b}{a}}{\frac {Z}{X}}\left(1+{\tilde {\varepsilon }}{\frac {b}{\sqrt {X^{2}+Z^{2}}}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

ist durch einmaliges Einsetzen in die Iterationsformel der Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> (für die Parameter der Erde) auf 0,0000001″ genau bestimmt (unabhängig vom Wert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy">).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Wichtige_Referenzellipsoide">Wichtige Referenzellipsoide</h2></div>

Die Form und Größe der in verschiedenen Regionen verwendeten Ellipsoide werden im Allgemeinen durch ihre <a href="Gro%C3%9Fe_Halbachse" class="mw-redirect" title="Große Halbachse">große Halbachse</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> und die <a href="Abplattung" title="Abplattung">Abplattung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> (engl. flattening) festgelegt. Ferner ist noch jener zentral gelegene „<a href="Fundamentalpunkt" title="Fundamentalpunkt">Fundamentalpunkt</a>“ zu definieren, auf dem das Referenzellipsoid das Geoid berührt und ihm damit eine unzweideutige <a href="H%C3%B6he" title="Höhe">Höhenlage</a> gibt. Beide Festlegungen zusammen werden „<a href="Geod%C3%A4tisches_Datum" title="Geodätisches Datum">geodätisches Datum</a>“ genannt.

Auch wenn zwei Länder dasselbe Ellipsoid verwenden (z. B. Deutschland und Österreich das <a href="Bessel-Ellipsoid" title="Bessel-Ellipsoid">Bessel-Ellipsoid</a>), unterscheiden sie sich doch in diesem Zentralpunkt bzw. <a href="Fundamentalpunkt" title="Fundamentalpunkt">Fundamentalpunkt</a>. Daher können sich die Koordinaten der gemeinsamen Grenzpunkte um bis zu einem Kilometer unterscheiden.

Die Achsen der Ellipsoide sind je nach der Region, aus deren Messungen sie bestimmt wurden, um bis zu 0,01 % verschieden. Die Genauigkeitssteigerung bei der Bestimmung der <a href="Abplattung" title="Abplattung">Abplattung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(a-b)/a}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(a-b)/a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4de0a2fdb7997262ccee47e4c12df72c818f614b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.646ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(a-b)/a}" loading="lazy"> (Differenz der <a href="Ellipsoid" title="Ellipsoid">Ellipsoid</a>-Achsen rund 21 km) hängt mit dem Start der ersten künstlichen <a href="Satellit_(Raumfahrt)" title="Satellit (Raumfahrt)">Satelliten</a> zusammen. Diese zeigten sehr deutliche <a href="Bahnst%C3%B6rung" title="Bahnstörung">Bahnstörungen</a> bzgl. der Bahnen, die man vorausberechnet hatte. Anhand der Fehler konnte man zurückrechnen und die Abplattung genauer bestimmen.

<caption>Regionale <a href="Ellipsoid" title="Ellipsoid">Ellipsoide</a> 1810–1906 und global bestimmte Erdellipsoide 1924–1984 und Entwicklung der Kenntnis vom mittleren <a href="%C3%84quator" title="Äquator">Äquatorradius</a> und <a href="Erdabplattung" title="Erdabplattung">Erdabplattung</a>

</caption>

<th>Ellipsoid

</th>

<th>Jahr

</th>

<th>Große Halbachse a [Meter]

</th>

<th>Kleine Halbachse b [Meter]

</th>

<th><a href="Logarithmus#Bezeichnungen" title="Logarithmus">Numerus</a> = 1/<a href="Abplattung" title="Abplattung">Abplattung</a> (n = 1/f = a/(a−b))

</th>

<th>Anmerkungen

</th>

<th><a href="European_Petroleum_Survey_Group_Geodesy#EPSG-Code" title="European Petroleum Survey Group Geodesy">EPSG</a>-Code

</th></tr>

<tr>

<td><a href="Jean-Baptiste_Joseph_Delambre" title="Jean-Baptiste Joseph Delambre">Delambre</a>, Frankreich

</td>

<td>1810

</td>

<td>6 376 985

</td>

<td>

</td>

<td>308,6465

</td>

<td>Pionierarbeit

</td></tr>

<tr>

<td>Schmidt

</td>

<td>1828

</td>

<td>6 376 804,37

</td>

<td>

</td>

<td>302,02

</td>

<td>Pionierarbeit

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

</td>

<td>1830

</td>

<td>6 377 563,4

</td>

<td>6 356 256,91

</td>

<td>299,3249646

</td>

<td>

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>Airy 1830 modifiziert

</td>

<td>1830

</td>

<td>6 377 340,189

</td>

<td>6 356 034,447

</td>

<td>299,3249514

</td>

<td>

</td>

<td>EPSG::7002

</td></tr>

<tr>

<td><a href="George_Everest" title="George Everest">Everest</a> (Indien)

</td>

<td>1830

</td>

<td>6 377 276,345

</td>

<td>

</td>

<td>300,8017

</td>

<td>

</td>

<td>EPSG::7015

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Bessel-Ellipsoid" title="Bessel-Ellipsoid">Bessel 1841</a><a href="#cite_note-3">[3]</a>

</td>

<td>1841

</td>

<td>6 377 397,155

</td>

</td>

</td>

<td>ideal angepasst in Eurasien; oft benutzt in <a href="Mitteleuropa" title="Mitteleuropa">Mitteleuropa</a>

</td>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Clarke-Ellipsoid" title="Clarke-Ellipsoid">Clarke</a>

</td>

<td>1866

</td>

<td>6 378 206,400

</td>

<td>

</td>

<td>294,9786982

</td>

<td>ideal angepasst in Asien

</td>

<td>EPSG::7008

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Clarke-Ellipsoid" title="Clarke-Ellipsoid">Clarke</a> 1880 / IGN

</td>

<td>1880

</td>

<td>6 378 249,17

</td>

<td>6 356 514,99

</td>

<td>293,4663

</td>

<td>

</td>

<td>EPSG::7011

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Friedrich_Robert_Helmert" title="Friedrich Robert Helmert">Friedrich Robert Helmert</a>

</td>

<td>1906

</td>

<td>6 378 200,000

</td>

<td>

</td>

<td>298,3

</td>

<td>

</td>

<td>EPSG::7020

</td></tr>

<tr>

<td>Australian Nat.

</td>

<td>

</td>

<td>6 378 160,000

</td>

<td>

</td>

<td>298,25

</td>

<td>

</td>

<td>EPSG::7003

</td></tr>

<tr>

<td>Modif. Fischer

</td>

<td>1960

</td>

<td>6 378 155,000

</td>

<td>

</td>

<td>298,3

</td>

<td>

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>Internat. 1924 <a href="Hayford-Ellipsoid" title="Hayford-Ellipsoid">Hayford</a>

</td>

<td>1924

</td>

<td>6 378 388,000

</td>

<td>6 356 911,946

</td>

<td>297,0

</td>

<td>ideal angepasst in Amerika bereits 1909 publiziert

</td>

<td>EPSG::7022

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Krassowski-Ellipsoid" title="Krassowski-Ellipsoid">Krassowski</a>

</td>

<td>1940

</td>

<td>6 378 245,000

</td>

<td>6 356 863,019

</td>

<td>298,3

</td>

<td>

</td>

<td>EPSG::7024

</td></tr>

<tr>

<td>Internat. 1967 <a href="Luzern" title="Luzern">Luzern</a>

</td>

<td>1967

</td>

<td>6 378 165,000

</td>

<td>

</td>

<td>298,25

</td>

<td>

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>SAD69 (South America)

</td>

<td>1969

</td>

<td>6 378 160,000

</td>

<td>

</td>

<td>298,25

</td>

<td>

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>WGS72 (World Geodetic System 1972)

</td>

<td>1972

</td>

<td>6 378 135,000

</td>

<td>≈ 6 356 750,52

</td>

<td>298,26

</td>

<td>

</td>

<td>EPSG::7043

</td></tr>

<tr>

<td>GRS 80 (<a href="Geod%C3%A4tisches_Referenzsystem_1980" title="Geodätisches Referenzsystem 1980">Geodätisches Referenzsystem 1980</a>)

</td>

<td>1980

</td>

<td>6 378 137,000

</td>

<td>≈ 6 356 752,3141

</td>

<td>298,257222101

</td>

<td>

</td>

<td>EPSG::7019

</td></tr>

<tr>

<td>WGS84 (<a href="World_Geodetic_System_1984" title="World Geodetic System 1984">World Geodetic System 1984</a>)

</td>

<td>1984

</td>

<td>6 378 137,000

</td>

<td>≈ 6 356 752,3142

</td>

<td>298,257223563

</td>

<td>für <a href="Global_Positioning_System" title="Global Positioning System">GPS</a>-<a href="Vermessung" title="Vermessung">Vermessungen</a>

</td>

<td>EPSG::7030

</td></tr>

</tbody></table>

Das <a href="Bessel-Ellipsoid" title="Bessel-Ellipsoid">Bessel-Ellipsoid</a> ist für Eurasien ideal angepasst, sodass sein „800-m-Fehler“ für die <a href="Geod%C3%A4sie" title="Geodäsie">Geodäsie</a> Europas günstig ist – ähnlich wie die gegenteiligen 200 m des Hayford-Ellipsoids (nach <a href="John_Fillmore_Hayford" title="John Fillmore Hayford">John Fillmore Hayford</a>) für Amerika.

Für viele Staaten <a href="Mitteleuropa" title="Mitteleuropa">Mitteleuropas</a> ist das <a href="Bessel-Ellipsoid" title="Bessel-Ellipsoid">Bessel-Ellipsoid</a> wichtig, ferner die Ellipsoide von Hayford und <a href="Krassowski-Ellipsoid" title="Krassowski-Ellipsoid">Krassowski</a> (Schreibweise uneinheitlich), und für <a href="Global_Positioning_System" title="Global Positioning System">GPS</a>-<a href="Vermessung" title="Vermessung">Vermessungen</a> das <a href="WGS84" class="mw-redirect" title="WGS84">WGS84</a>.

Die Resultate von Delambre und von Schmidt sind Pionierarbeiten und beruhen auf nur begrenzten Messungen. Hingegen entsteht der große Unterschied zwischen Everest (Asien) und Hayford (Amerika) durch die <a href="Geologie" title="Geologie">geologisch</a> bedingte Geoid-Krümmung verschiedener Kontinente. Einen Teil dieses Effekts konnte Hayford durch mathematische Reduktion der <a href="Isostasie" title="Isostasie">Isostasie</a> eliminieren, sodass man dessen Werte damals für besser hielt als die europäischen Vergleichswerte.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Wolfgang_Torge" title="Wolfgang Torge">Wolfgang Torge</a>: Geodesy. 3. completely revised and extended edition. De Gruyter-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-11-017072-8.</li>

<li>J. Ihde et al.: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.crs-geo.eu/crseu/EN/References/Elemente/pub01EuropeanSpatialRefernceSystems,templateId=raw,property=publicationFile.pdf/pub01EuropeanSpatialRefernceSystems.pdf">European Spatial Reference Systems – Frames for Geoinformation Systems.</a> (PDF).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://deadurl.invalid/http://www.kowoma.de/gps/geo/mapdatum.htm">@1</a><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.kowoma.de/gps/geo/mapdatum.htm">@2</a>Vorlage:Toter Link/www.kowoma.de<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.kowoma.de/gps/geo/mapdatum.htm">Kartenbezugssysteme, Ellipsoide, Geoide und topografische Oberflächen</a> (Seite nicht mehr abrufbar. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://timetravel.mementoweb.org/list/2010/http://www.kowoma.de/gps/geo/mapdatum.htm">Suche in Webarchiven</a>)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mapref.org/">MapRef</a> – Europäische Referenzsysteme und Kartenprojektionen</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://deadurl.invalid/http://www.crs-geo.eu/nn_124228/crseu/EN/Home/homepage__node.html?__nnn=true">@1</a><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.crs-geo.eu/nn_124228/crseu/EN/Home/homepage__node.html?__nnn=true">@2</a>Vorlage:Toter Link/www.crs-geo.eu<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.crs-geo.eu/nn_124228/crseu/EN/Home/homepage__node.html?__nnn=true">CRS-EU</a> (Seite nicht mehr abrufbar. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://timetravel.mementoweb.org/list/2010/http://www.crs-geo.eu/nn_124228/crseu/EN/Home/homepage__node.html?__nnn=true">Suche in Webarchiven</a>) – Information and Service System for European Coordinate Reference Systems.</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://deadurl.invalid/http://www.euref-iag.net/euref_links.html">@1</a><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.euref-iag.net/euref_links.html">@2</a>Vorlage:Toter Link/www.euref-iag.net<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.euref-iag.net/euref_links.html">euref-iag.net</a> (Seite nicht mehr abrufbar. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://timetravel.mementoweb.org/list/2010/http://www.euref-iag.net/euref_links.html">Suche in Webarchiven</a>) – EUREF-Links zu weiteren geodätischen Informationen</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://deadurl.invalid/http://www.epsg-registry.org/">@1</a><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.epsg-registry.org/">@2</a>Vorlage:Toter Link/www.epsg-registry.org<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.epsg-registry.org/">epsg-registry.org</a> (Seite nicht mehr abrufbar. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://timetravel.mementoweb.org/list/2010/http://www.epsg-registry.org/">Suche in Webarchiven</a>) – Datenbank zu Referenzsystemen und Koordinatentransformationsparametern</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Bowring: The accuracy of geodetic latitude and height equations. Survey Review, Vol. 28.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Bowring: Transformation from Spatial to Geographical coordinates. Survey Review, Vol. 23.

</li>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .webarchiv-memento a{color:inherit}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20131006065844/http://www.arsitech.com/mapping/geodetic_datum/#BESSEL%201841">Constants for Reference Ellipsoids used for Datum Transformations.</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 6. Oktober 2013 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20180407053505/https://gis.stackexchange.com/questions/67774/from-bessel-1841-to-wgs-1984">Projecting from Bessel 1841 to WGS 1984</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> des <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r250917974">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-position:center right!important;background-repeat:no-repeat!important}body.skin-minerva .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/OOjs_UI_icon_external-link-ltr-progressive.svg")!important;background-size:10px!important;padding-right:13px!important}body.skin-timeless .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a,body.skin-monobook .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/MediaWiki_external_link_icon.svg")!important;padding-right:13px!important}body.skin-vector .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/Link.ernal-small-ltr-progressive.svg")!important;background-size:0.857em!important;padding-right:1em!important}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a class="external text" href="https://redirecter.toolforge.org/?url=https%3A%2F%2Fgis.stackexchange.com%2Fquestions%2F67774%2Ffrom-bessel-1841-to-wgs-1984">Originals</a> vom 7. April 2018 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.<a rel="nofollow" class="external text" href="http://IABotmemento.invalid/https://gis.stackexchange.com/questions/67774/from-bessel-1841-to-wgs-1984">@1</a><a rel="nofollow" class="external text" href="https://gis.stackexchange.com/questions/67774/from-bessel-1841-to-wgs-1984">@2</a>Vorlage:Webachiv/IABot/gis.stackexchange.comund geben den auf 1 mm gerundeten Wert für b an, ausgehend von den in EPSG:7004 definierten Parametern a und f.

</li>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=-({\tfrac {a}{n}}-a)=-({\tfrac {6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} }{\color {Green}299{,}1528128}}-6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} )=6\,356\,078{,}96282\;\mathrm {m} \simeq 6\,356\,078{,}{\color {Red}963}\;\mathrm {m} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7865dfd0c925b1cc41070c9b3b7d94f171ee5671.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:90.866ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle b=-({\tfrac {a}{n}}-a)=-({\tfrac {6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} }{\color {Green}299{,}1528128}}-6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} )=6\,356\,078{,}96282\;\mathrm {m} \simeq 6\,356\,078{,}{\color {Red}963}\;\mathrm {m} }" loading="lazy">.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Fälschlicherweise auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n={\tfrac {1}{f}}={\tfrac {a}{a-b}}={\tfrac {6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} }{6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} -6\,356\,078{,}{\color {Red}963}\;\mathrm {m} }}={\color {Green}299{,}15281}{\color {Red}53513205998}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n={\tfrac {1}{f}}={\tfrac {a}{a-b}}={\tfrac {6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} }{6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} -6\,356\,078{,}{\color {Red}963}\;\mathrm {m} }}={\color {Green}299{,}15281}{\color {Red}53513205998}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5606acb2044466a9423ad67917ccae4b2619055.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:66.997ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle n={\tfrac {1}{f}}={\tfrac {a}{a-b}}={\tfrac {6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} }{6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} -6\,356\,078{,}{\color {Red}963}\;\mathrm {m} }}={\color {Green}299{,}15281}{\color {Red}53513205998}}" loading="lazy">.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://georepository.com/ellipsoid_7004/Bessel-1841.html">georepository.com,</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://epsg.io/7004-ellipsoid">epsg.io</a>. EPSG:7004 nutzt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n={\tfrac {1}{f}}={\color {Green}299{,}1528128}}">

<mfrac>

</mfrac>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n={\tfrac {1}{f}}={\color {Green}299{,}1528128}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d57d31642b054d51f9f3f32e14de75ae9f667e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:21.603ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle n={\tfrac {1}{f}}={\color {Green}299{,}1528128}}" loading="lazy">. Dieser Wert stammt aus dem US Army Map Service Technical Manual; 1943. “Remarks: Original Bessel definition is a=3272077.14 and b=3261139.33 toise. This used a weighted mean of values from several authors but did not account for differences in the length of the various toise: the „Bessel toise“ is therefore of uncertain length.”

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>